Trójkąty
Zadanie 8, maj 2021, poziom rozszerzony
Dany jest trójkąt równoboczny \(ABC\). Na bokach \(AB\) i \(AC\) wybrano punkty - odpowiednio - \(D\) i \(E\) takie, że
\[|BD|=|AE|=\frac13|AB|.\]
Odcinki \(CD\) i \(BE\) przecinają się w punkcie \(P\) (zobacz rysunek). Wykaż, że pole trójkąta \(DBP\) jest \(21\) razy mniejsze od pola trójkąta \(ABC\).
Odpowiedź
\[P_{DBP}=\frac1{21}P_{ABC}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(|BD|=a\). Wtedy \(|AB|=|BC|=3a\). Trójkąty \(ABE\) i \(BCD\) są przystające, ponieważ
\[|AB|=|BC|,\qquad |AE|=|BD|,\qquad |\angle BAE|=|\angle CBD|=60^\circ.\]
W konsekwencji odpowiednie kąty są równe, więc trójkąty \(DBP\) i \(DCB\) są podobne. Z twierdzenia cosinusów w trójkącie \(DBC\):
\[|CD|^2=a^2+(3a)^2-2\cdot a\cdot3a\cdot\cos60^\circ=7a^2,\]
czyli \(|CD|=a\sqrt7\). Skala podobieństwa trójkąta \(DBP\) do \(DCB\) wynosi
\[s=\frac{|DB|}{|DC|}=\frac1{\sqrt7}.\]
Zatem stosunek ich pól jest równy \(s^2=1/7\). Ponadto trójkąty \(DBC\) i \(ABC\) mają wspólną wysokość opuszczoną z \(C\), a \(|DB|=\frac13|AB|\), więc
\[P_{DBC}=\frac13P_{ABC}.\]
Ostatecznie
\[P_{DBP}=\frac17P_{DBC}=\frac1{21}P_{ABC}.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – pełne poprawne rozumowanie dowodzące, że \(P_{DBP}=\frac1{21}P_{ABC}\)
**2 pkt** – wykazanie podobieństwa trójkątów \(DBP\) i \(DCB\) oraz obliczenie skali \(1/\sqrt7\), albo równoważny zaawansowany etap dowodu
**1 pkt** – rozpoznanie odpowiedniego podobieństwa lub przystawania, wyznaczenie \(|CD|=|DB|\sqrt7\) albo inna poprawna zależność prowadząca do tezy
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
G10.13 i R7.3 stosowanie cech przystawania trójkątów, rozpoznawanie figur podobnych i wykorzystywanie skali podobieństwa do porównywania pól.
