Potęgi i pierwiastki
Zadanie 6, maj 2021, poziom rozszerzony
Niech \(\log_{2}18=c\). Wykaż, że \(\log_{3}4=\frac{4}{(c-1)}\).
Odpowiedź
Ze wzoru na zamianę podstawy \(\log_{3}4=\frac{\log_{2}4}{\log_{2}3}\). Z równości \(c=\log_{2}18=\log_{2}\left(2\cdot 3^{2}\right)=1+2\log_{2}3\) wynika \(\log_{2}3=\frac{c-1}{2}\), zatem \(\log_{3}4=\frac{2}{\frac{c-1}{2}}=\frac{4}{c-1}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Metoda: przechodzimy z logarytmu o podstawie \(3\) na logarytmy o podstawie \(2\) (bo w podstawie \(2\) jest wyrażona liczba \(c\)), korzystając ze wzoru na zamianę podstawy
\[\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}.\]
**Krok \(2\).** Rozkładamy liczbę \(18\) na czynniki: \(18=2\cdot 9=2\cdot 3^{2}\).
**Krok \(3\).** Korzystamy ze wzorów na logarytm iloczynu i logarytm potęgi:
\[c=\log_{2}18=\log_{2}2+\log_{2}3^{2}=1+2\log_{2}3.\]
**Krok \(4\).** Wyznaczamy stąd \(\log_{2}3\):
\[\log_{2}3=\frac{c-1}{2}.\]
Zauważmy, że \(\log_{2}3\gt 0\), więc \(c-1\gt 0\), czyli \(c\neq 1\) i dalej możemy przez \(c-1\) dzielić.
**Krok \(5\).** Zamieniamy podstawę w wyrażeniu \(\log_{3}4\):
\[\log_{3}4=\frac{\log_{2}4}{\log_{2}3}.\]
**Krok \(6\).** Obliczamy licznik: \(\log_{2}4=\log_{2}2^{2}=2\).
**Krok \(7\).** Podstawiamy wyniki z kroków \(4\) i \(6\):
\[\log_{3}4=\frac{2}{\frac{c-1}{2}}=2\cdot\frac{2}{c-1}=\frac{4}{c-1}.\]
To należało wykazać.
**Uwaga.** Warto samodzielnie sprawdzić rachunek liczbowo: \(c=\log_{2}18\approx 4{,}17\), więc \(\frac{4}{c-1}\approx\frac{4}{3{,}17}\approx 1{,}26\), a \(\log_{3}4\approx 1{,}26\) — zgadza się.
**Odpowiedź.** Dla \(c=\log_{2}18\) zachodzi \(\log_{3}4=\frac{4}{c-1}\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – gdy podczas przekształcenia wyrażenia \(\log_{3}4\) lub \(\frac{4}{\log_{2}18-1}\) poprawnie zastosuje wzór na zamianę podstaw logarytmu lub logarytm ilorazu/iloczynu, lub logarytm potęgi, np.: \(\log_{3}4=\frac{\log_{2}4}{\log_{2}3}\), \(\frac{4}{\log_{2}18-1}=\frac{4}{\log_{2}\frac{18}{2}}\), \(\log_{3}4=2\log_{3}2\), \(\log_{2}18=\log_{2}2+\log_{2}9\)
**2 pkt** – gdy:
• przekształci wyrażenie \(\log_{3}4\) lub \(\frac{4}{\log_{2}18-1}\) lub oba te wyrażenia do takiej postaci, z której poprzez jednokrotne zastosowanie wzoru na zamianę podstaw logarytmu lub logarytm ilorazu/iloczynu, lub logarytm potęgi oraz ewentualne kilkukrotne przekształcenie wyrażenia wymiernego uzyskuje się tezę
ALBO
• wyznaczy \(\log_{2}3\) w zależności od \(c\): \(\log_{2}3=\frac{c-1}{2}\)
**3 pkt** – gdy, stosując poprawną metodę, przeprowadzi pełny dowód.
**Uwaga:** Jeżeli zdający, przy rozpoczęciu przekształcania wyrażenia \(\log_{3}4\) lub \(\frac{4}{\log_{2}18-1}\), popełnia błąd rzeczowy (niepoprawnie zastosuje wzór na zamianę podstaw logarytmu lub logarytm ilorazu/iloczynu, lub logarytm potęgi), lecz w dalszej części rozwiązania każdorazowo stosuje te wzory poprawnie, to może otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej \(1\) punkt.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania egzaminacyjne 2021**
**Wymagania ogólne:**
V. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
R1.2) Zdający stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
