Liczby rzeczywiste
Zadanie 32, maj 2021, poziom podstawowy
Rozwiąż równanie
\[\frac{3x+2}{3x-2}=4-x.\]
Odpowiedź
\[x\in\left\{\frac53,2\right\}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Równanie ma sens dla
\[x\neq\frac23.\]
Mnożymy obie strony przez \(3x-2\):
\[3x+2=(3x-2)(4-x).\]
Po rozwinięciu i uporządkowaniu otrzymujemy
\[3x^2-11x+10=0.\]
Wyróżnik tego trójmianu jest równy
\[\Delta=(-11)^2-4\cdot3\cdot10=1.\]
Stąd
\[x_1=\frac{11-1}{6}=\frac53,\qquad x_2=\frac{11+1}{6}=2.\]
Obie liczby należą do dziedziny, więc są rozwiązaniami równania.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawne przekształcenie równania wymiernego i otrzymanie obu rozwiązań: \(x=\frac53\) oraz \(x=2\)
**1 pkt** – poprawne sprowadzenie równania do postaci \(3x+2=(3x-2)(4-x)\) lub równoważnego równania kwadratowego
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania. Brak zapisu \(x
\neq\frac23\) nie obniża punktacji, jeśli dalsze rozwiązanie jest poprawne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
3.7 rozwiązywanie prostych równań wymiernych prowadzących do równań liniowych lub kwadratowych.
