Trójkąty
Zadanie 33, maj 2021, poziom podstawowy
Trójkąt równoboczny \(ABC\) ma pole równe \(9\sqrt3\). Prosta równoległa do boku \(BC\) przecina boki \(AB\) i \(AC\) odpowiednio w punktach \(K\) i \(L\). Trójkąty \(ABC\) i \(AKL\) są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy \(\frac32\). Oblicz długość boku trójkąta \(AKL\).
Odpowiedź
Długość boku trójkąta \(AKL\) jest równa \(4\).
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(a\) oznacza długość boku trójkąta równobocznego \(ABC\). Ze wzoru na jego pole otrzymujemy
\[\frac{a^2\sqrt3}{4}=9\sqrt3.\]
Stąd \(a^2=36\), a ponieważ \(a>0\), mamy \(a=6\). Stosunek długości odpowiednich boków trójkątów \(ABC\) i \(AKL\) jest równy \(\frac32\), zatem
\[\frac{6}{|AK|}=\frac32.\]
Po rozwiązaniu równania dostajemy
\[|AK|=4.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie \(|AK|=4\)
**1 pkt** – obliczenie długości boku trójkąta \(ABC\): \(|AB|=6\), obliczenie pola \(P_{AKL}=4\sqrt3\) albo zapisanie poprawnego równania wykorzystującego skalę podobieństwa \(\frac32\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
7.3 rozpoznawanie trójkątów podobnych i wykorzystywanie cech podobieństwa trójkątów.
