Nierówności
Zadanie 7, maj 2018, poziom podstawowy
Równanie \(\frac{(x^{2} + 2x)}{(x^{2} - 4)} = 0\)
A. ma trzy rozwiązania: \(x = -2, x = 0, x = 2\)
B. ma dwa rozwiązania: \(x = 0, x = -2\)
C. ma dwa rozwiązania: \(x = -2, x = 2\)
D. ma jedno rozwiązanie: \(x = 0\)
Odpowiedź
D. Równanie ma jedno rozwiązanie: \(x=0\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** To równanie wymierne — niewiadoma stoi także w mianowniku. Obowiązuje żelazna zasada: ułamek jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy jego licznik jest równy zero, a mianownik jest różny od zera. Zaczynamy więc od dziedziny.
**Krok \(2\).** Dziedzina: musi być \(x^2-4\neq0\). Rozkładamy:
\[x^2-4=(x-2)(x+2),\]
więc \(x\neq2\) oraz \(x\neq-2\).
**Krok \(3\).** Przyrównujemy licznik do zera i wyłączamy \(x\) przed nawias:
\[x^2+2x=0,\qquad x(x+2)=0,\]
skąd \(x=0\) lub \(x=-2\).
**Krok \(4\).** Konfrontujemy z dziedziną: liczba \(-2\) jest wykluczona (zeruje mianownik), więc odpada. Zostaje jedno rozwiązanie:
\[x=0.\]
**Krok \(5\).** Sprawdzenie: dla \(x=0\) mamy \(\frac{0+0}{0-4}=\frac{0}{-4}=0\). Równanie jest spełnione.
**Krok \(6\).** Zatem równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.
**Uwaga.** Kusi skrócenie ułamka: \(\frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x}{x-2}\). Wolno to zrobić dopiero po wypisaniu dziedziny — samo skrócenie „gubi” informację, że \(x=-2\) jest zabronione, i prowadzi wprost do błędnej odpowiedzi B.
**Odpowiedź.** D: równanie ma jedno rozwiązanie \(x=0\)
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 7. (0−1)
3. Równania i nierówności. Zdający Wersja Wersja
I. Wykorzystanie rozwiązuje proste równania wymierne, I II
i tworzenie informacji prowadzące do równań liniowych lub
kwadratowych (3.8). D B
