Równania kwadratowe
Zadanie 5, maj 2014, poziom podstawowy
Wspólnym pierwiastkiem równań
\[(x^2-1)(x-10)(x-5)=0\]
oraz
\[\frac{2x-10}{x-1}=0\]
jest liczba
**A.** \(-1\)
**B.** \(1\)
**C.** \(5\)
**D.** \(10\)
Odpowiedź
C. \(5\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Szukamy liczby, która jest rozwiązaniem obu równań naraz. Najprościej rozwiązać każde z nich osobno, a potem wybrać liczbę wspólną dla obu zbiorów rozwiązań.
**Krok \(2\).** Pierwsze równanie jest już w postaci iloczynowej, więc przyrównujemy do zera kolejne czynniki:
\[x^2-1=0\quad\text{lub}\quad x-10=0\quad\text{lub}\quad x-5=0.\]
**Krok \(3\).** Z \(x^2-1=0\) mamy \(x^2=1\), czyli \(x=-1\) lub \(x=1\). Z pozostałych: \(x=10\) oraz \(x=5\). Pierwsze równanie ma więc rozwiązania \(-1,\ 1,\ 5,\ 10\) — a to są dokładnie wszystkie cztery liczby z odpowiedzi, więc samo pierwsze równanie niczego nie rozstrzyga.
**Krok \(4\).** Przechodzimy do drugiego równania. Jest ono wymierne, więc zaczynamy od dziedziny: mianownik nie może być zerem, czyli
\[x-1\neq0,\qquad\text{a więc}\qquad x\neq1.\]
**Krok \(5\).** Ułamek jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy jego licznik jest równy zeru, a mianownik nie:
\[2x-10=0\ \Rightarrow\ 2x=10\ \Rightarrow\ x=5.\]
**Krok \(6\).** Sprawdzamy, czy \(x=5\) należy do dziedziny: \(5\neq1\), więc tak. Drugie równanie ma zatem dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=5\).
**Krok \(7\).** Porównujemy zbiory rozwiązań: \(\{-1,1,5,10\}\) oraz \(\{5\}\). Wspólnym pierwiastkiem obu równań jest \(5\).
**Uwaga.** Liczba \(1\) jest pierwiastkiem pierwszego równania, ale drugie wyrażenie nie ma w tym punkcie żadnej wartości — mianownik się zeruje. Dlatego odpowiedź B jest błędna. W zadaniach z ułamkiem zawsze wypisz dziedzinę, zanim przyrównasz licznik do zera.
**Odpowiedź.** C: \(5\)
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Rozwiązywanie prostych równań wymiernych (II.3.e).
