Równania i nierówności
Zadanie 33, maj 2014, poziom podstawowy
Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość \(2{,}1\,\mathrm{km}\). Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy \(1\) godzinie i \(4\) minutom. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o \(1\,\mathrm{km/h}\) mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.
Odpowiedź
\[v=3{,}5\,\mathrm{km/h}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(v>0\) oznacza średnią prędkość wchodzenia wyrażoną w \(\mathrm{km/h}\). Prędkość schodzenia wynosi wtedy \(v+1\). Łączny czas to
\[1\,\mathrm{h}+4\,\mathrm{min}=\frac{16}{15}\,\mathrm{h}.\]
Otrzymujemy równanie
\[\frac{2{,}1}{v}+\frac{2{,}1}{v+1}=\frac{16}{15}.\]
Po usunięciu mianowników:
\[32v^2-94v-63=0.\]
Pierwiastkami są \(v=3{,}5\) oraz \(v=-\frac9{16}\). Odrzucamy wartość ujemną, zatem turysta wchodził ze średnią prędkością
\[v=3{,}5\,\mathrm{km/h}.\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawne obliczenie średniej prędkości wchodzenia: \(3{,}5\,\mathrm{km/h}\)
**4 pkt** – rozwiązanie równania z drobną usterką rachunkową, która nie przekreśla poprawności metody
**3 pkt** – ułożenie poprawnego równania z jedną niewiadomą
**2 pkt** – poprawne uzależnienie czasów lub prędkości od jednej zmiennej
**1 pkt** – poprawne wprowadzenie oznaczeń i zapisanie koniecznej zależności między czasem, drogą i prędkością
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
Rozwiązywanie zadań osadzonych w kontekście praktycznym, prowadzących do równań kwadratowych (III.3.b).
