Trygonometria
Zadanie 34, maj 2014, poziom podstawowy
Kąt \(CAB\) trójkąta prostokątnego \(ACB\) ma miarę \(30^\circ\). Pole kwadratu \(DEFG\) wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek) jest równe \(4\). Oblicz pole trójkąta \(ACB\).
Odpowiedź
\[P_{ACB}=4+\frac{19\sqrt3}{6}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Pole kwadratu jest równe \(4\), więc jego bok ma długość \(2\). Trójkąt \(ADE\) jest trójkątem \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\), zatem
\[AD=4,\qquad AE=2\sqrt3.\]
W trójkącie \(BGF\) mamy
\[BF=\frac2{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}.\]
Stąd długość przeciwprostokątnej dużego trójkąta wynosi
\[AB=AE+EF+FB=2\sqrt3+2+\frac{2\sqrt3}{3}=2+\frac{8\sqrt3}{3}.\]
Trójkąt \(ACB\) również jest trójkątem \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\), więc jego pole jest równe
\[P_{ACB}=\frac{AB^2\sqrt3}{8}=4+\frac{19\sqrt3}{6}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawne obliczenie \(P_{ACB}=4+\frac{19\sqrt3}{6}\)
**3 pkt** – poprawne wyznaczenie jednego z boków dużego trójkąta, np. \(AB=2+\frac{8\sqrt3}{3}\)
**2 pkt** – wykorzystanie własności trójkąta \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\) i poprawne obliczenie jednego z odcinków wskazanych w kluczu
**1 pkt** – poprawne obliczenie boku kwadratu: \(2\)
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
Wykorzystanie własności figur podobnych w zadaniach (IV.7.b).
