Graniastosłupy
Zadanie 32, maj 2014, poziom podstawowy
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe \(198\). Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka to
\[1:2:3.\]
Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.
Odpowiedź
\[d=3\sqrt{14}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech długości krawędzi prostopadłościanu będą równe \(x,2x,3x\), gdzie \(x>0\). Z warunku dotyczącego pola powierzchni całkowitej otrzymujemy
\[2(x\cdot2x+x\cdot3x+2x\cdot3x)=198,\]
czyli
\[22x^2=198.\]
Stąd \(x^2=9\), a ponieważ \(x>0\), mamy \(x=3\). Długość przekątnej spełnia
\[d^2=x^2+(2x)^2+(3x)^2=14x^2.\]
Zatem
\[d=x\sqrt{14}=3\sqrt{14}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawne obliczenie \(d=3\sqrt{14}\)
**3 pkt** – poprawne wyznaczenie jednej krawędzi, np. \(x=3\), lecz niedokończone obliczenie przekątnej
**2 pkt** – poprawne zapisanie pola powierzchni całkowitej albo przekątnej jako funkcji jednej zmiennej
**1 pkt** – zapisanie krawędzi jako \(x,2x,3x\) albo wzoru \(d^2=x^2+y^2+z^2\)
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
Wyznaczanie związków miarowych w wielościanach (IV.9.b).
