Równania i nierówności
Zadanie 4, maj 2007, poziom podstawowy
Samochód przebył w pewnym czasie \(210\,\mathrm{km}\). Gdyby jechał ze średnią prędkością o \(10\,\mathrm{km/h}\) większą, to czas przejazdu skróciłby się o pół godziny. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten samochód.
Odpowiedź
\(v=60\ \mathrm{km/h}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy klasyczne zadanie o drodze, prędkości i czasie, w którym porównuje się dwa przejazdy. Narzędziem jest wzór \(t=\dfrac{s}{v}\), a informacja o skróceniu czasu daje równanie z niewiadomą w mianowniku.
**Krok \(2\).** Oznaczamy przez \(v\) średnią prędkość samochodu (w \(\mathrm{km/h}\)); z natury zagadnienia \(v\gt0\).
**Krok \(3\).** Zapisujemy oba czasy przejazdu tej samej drogi \(210\ \mathrm{km}\): \[t_1=\frac{210}{v}\ \text{(przy prędkości }v\text{)},\qquad t_2=\frac{210}{v+10}\ \text{(przy prędkości o }10\text{ większej)}.\]
**Krok \(4\).** Przy większej prędkości czas jest krótszy, i to o pół godziny, czyli o \(\frac12\) h. Zapisujemy to jako różnicę czasów: \[\frac{210}{v}-\frac{210}{v+10}=\frac12.\]
**Krok \(5\).** Mnożymy obie strony przez \(2v(v+10)\), co wolno zrobić, bo \(v\gt0\): \[420(v+10)-420v=v(v+10),\qquad 420v+4200-420v=v^2+10v,\qquad 4200=v^2+10v.\]
**Krok \(6\).** Porządkujemy i rozwiązujemy równanie kwadratowe \(v^2+10v-4200=0\): \[\Delta=10^2-4\cdot1\cdot(-4200)=100+16\,800=16\,900,\qquad \sqrt{\Delta}=130,\] \[v_1=\frac{-10-130}{2}=-70,\qquad v_2=\frac{-10+130}{2}=60.\]
**Krok \(7\).** Odrzucamy \(v_1=-70\), bo prędkość nie może być ujemna. Zostaje \(v=60\ \mathrm{km/h}\). Sprawdzenie: \(\frac{210}{60}=3{,}5\) h, \(\frac{210}{70}=3\) h — różnica to istotnie pół godziny.
**Uwaga.** Dwie rzeczy potrafią tu zepsuć rozwiązanie. Po pierwsze jednostki: pół godziny musimy zapisać jako \(\frac12\), a nie \(30\), bo prędkość jest podana w \(\mathrm{km/h}\), więc czas wychodzi w godzinach. Po drugie kolejność odejmowania: szybszy przejazd trwa krócej, więc od \(\frac{210}{v}\) odejmujemy \(\frac{210}{v+10}\), a nie odwrotnie.
**Odpowiedź.** \(v=60\ \mathrm{km/h}\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**Zadanie 4.** (\(5\) pkt)
Samochód przebył w pewnym czasie \(210\,\mathrm{km}\). Gdyby jechał ze średnią prędkością o \(10\,\mathrm{km/h}\) większą, to czas przejazdu skróciłby się o pół godziny. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten samochód.
Wprowadzam oznaczenia:
\(v\) – średnia prędkość samochodu,
\(\frac{210}{v}\) – czas, w którym samochód przebył drogę ze średnią prędkością \(v\),
\(\frac{210}{v+10}\) – czas, w którym samochód przebył drogę ze średnią prędkością \(v+10\).
Warunki zadania zapisuję za pomocą równania: \(\frac{210}{v}-\frac{210}{v+10}=\frac{1}{2}\), które po przekształceniu przyjmuje postać: \(v^{2}+10v-4200=0\).
Rozwiązaniem równania są liczby: \(v_{1}=60\), \(v_{2}=-70\). Odrzucam rozwiązanie \(v_{2}=-70\), które jest niezgodne z warunkami zadania.
Odpowiedź: Samochód jechał ze średnią prędkością \(60\,\mathrm{km/h}\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
