Zadanie 6 – matura z matematyki lipiec 2020, poziom podstawowy

B. Ma dokładnie jedno rozwiązanie

**Krok \(1\).** Niewiadoma stoi w mianowniku, więc to równanie wymierne: najpierw dziedzina, potem mnożenie przez mianownik. Dodatkowo pytanie dotyczy rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych, więc na końcu trzeba odsiać te, które całkowite nie są. **Krok \(2\).** Dziedzina: mianownik nie może być zerem, czyli \(x\neq 0\). **Krok \(3\).** Mnożymy obie strony przez \(x\): \[1-x=2x^{2}.\] **Krok \(4\).** Porządkujemy do postaci ogólnej trójmianu: \[2x^{2}+x-1=0.\] **Krok \(5\).** Liczymy wyróżnik dla \(a=2\), \(b=1\), \(c=-1\): \[\Delta=1^{2}-4\cdot 2\cdot(-1)=1+8=9,\qquad \sqrt{\Delta}=3,\] a stąd \[x_{1}=\frac{-1-3}{4}=-1,\qquad x_{2}=\frac{-1+3}{4}=\frac12.\] **Krok \(6\).** Oba wyniki należą do dziedziny (żaden nie jest zerem), ale liczbą całkowitą jest tylko \(x=-1\). Liczba \(\frac12\) spełnia równanie, lecz nie należy do zbioru, o który pyta zadanie. **Krok \(7\).** Sprawdzamy \(x=-1\) w wyjściowym równaniu: \[\frac{1-(-1)}{-1}=\frac{2}{-1}=-2,\qquad 2\cdot(-1)=-2,\] obie strony są równe. **Uwaga.** W zbiorze liczb rzeczywistych rozwiązania byłyby dwa. Cała trudność polega na tym, że pytamy o liczby całkowite — dlatego \(\frac12\) odrzucamy i zostaje dokładnie jedno rozwiązanie. **Odpowiedź.** B. Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Właściwego klucza do tego zadania brak w materiale źródłowym.

Zadanie 6. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2020 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.