Inne zagadnienia
Zadanie 30, czerwiec 2026, poziom podstawowy
W trójkącie ostrokątnym \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(AB\) i odcinek \(CD\) jest wysokością tego trójkąta. Punkt \(E\) jest środkiem boku \(AC\). Ponadto odcinki \(DB\) oraz \(DE\) mają równe długości (zobacz rysunek).
Wykaż, że \(\lvert\angle CAB\rvert=2\cdot\lvert\angle ABE\rvert\).
Odpowiedź
\[|\angle CAB|=2\cdot|\angle ABE|.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(\alpha=|\angle CAB|\) oraz \(\beta=|\angle ABE|\). Z rysunku odczytujemy, że punkt \(D\) leży między \(A\) i \(B\), odcinek \(CD\) jest prostopadły do \(AB\), a punkt \(E\) jest środkiem boku \(AC\).
**Krok 1: \(AE=DE\).** Trójkąt \(ADC\) ma kąt prosty przy wierzchołku \(D\), bo \(CD\) jest wysokością trójkąta \(ABC\). Odcinek \(DE\) łączy wierzchołek kąta prostego ze środkiem przeciwprostokątnej \(AC\), jest więc środkową poprowadzoną do przeciwprostokątnej i ma długość równą jej połowie:
\[|DE|=\tfrac12|AC|=|AE|.\]
Trójkąt \(AED\) jest zatem równoramienny, a kąty przy jego podstawie \(AD\) są równe:
\[|\angle ADE|=|\angle DAE|=\alpha.\]
**Krok 2: kąt \(EDB\).** Z założenia \(|DB|=|DE|\), więc trójkąt \(DBE\) jest równoramienny o podstawie \(BE\). Ponieważ \(D\) leży na odcinku \(AB\), półproste \(BD\) i \(BA\) pokrywają się, czyli \(|\angle DBE|=|\angle ABE|=\beta\). Stąd
\[|\angle BED|=|\angle DBE|=\beta,\qquad |\angle EDB|=180^{\circ}-2\beta.\]
**Krok 3: zsumowanie.** Punkty \(A\), \(D\), \(B\) są współliniowe, a \(E\) leży poza tą prostą, więc kąty \(ADE\) i \(EDB\) są przyległe:
\[|\angle ADE|+|\angle EDB|=180^{\circ}.\]
Podstawiamy wyniki z kroków 1 i 2:
\[\alpha+\left(180^{\circ}-2\beta\right)=180^{\circ},\]
skąd \(\alpha=2\beta\).
**Odpowiedź.** \(|\angle CAB|=2\cdot|\angle ABE|\), co należało wykazać.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – przeprowadzenie pełnego rozumowania dowodzącego, że \(|\angle CAB|=2\cdot|\angle ABE|\)
**1 pkt** – zapisanie \(|AE|=|DE|\) wraz z wnioskiem \(|\angle EAD|=|\angle ADE|\), albo zapisanie \(|\angle BED|=|\angle DBE|\), albo zapisanie równoważnej zależności \(|\angle ADE|=2\cdot|\angle ABE|\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Sprawdzana umiejętność:** przeprowadzanie dowodu geometrycznego z wykorzystaniem własności środkowej poprowadzonej do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym, własności trójkąta równoramiennego oraz kątów przyległych.
Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.
