Równania i nierówności
Zadanie 26, czerwiec 2026, poziom podstawowy
Rozwiąż równanie
\[(27x^{3}+1)(x^{2}-4)=0\]
w zbiorze liczb rzeczywistych.
Odpowiedź
\[(27x^{3}+1)(x^{2}-4)=0\] Iloczyn jest równy \(0\), gdy co najmniej jeden czynnik jest równy \(0\). Z równania \(27x^{3}+1=0\) otrzymujemy \(x=-\frac{1}{3}\), a z równania \(x^{2}-4=0\) otrzymujemy \(x=-2\) lub \(x=2\). Zatem \(x\in\left\{-2,-\frac{1}{3},2\right\}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się co najmniej jeden
z czynników, więc
\[27x^3+1=0\quad\text{lub}\quad x^2-4=0.\]
Z pierwszego równania \(x^3=-\tfrac1{27}\), czyli \(x=-\tfrac13\)
(sześcian jest funkcją różnowartościową, więc to jedyny pierwiastek rzeczywisty).
Z drugiego \(x^2=4\), czyli \(x=-2\) lub \(x=2\).
**Odpowiedź.** \(x\in\left\{-2,-\tfrac13,2\right\}\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: zapisanie równań 27x³ + 1 = 0 i x² − 4 = 0, rozłożenie całości na czynniki albo poprawne rozwiązanie jednego z tych równań.
2 pkt: poprawna metoda i wszystkie rozwiązania: −2, −1/3, 2.
Wymagania podstawy programowej
1 pkt – zapisanie, że liczba 2 jest rozwiązaniem równania \(x^2-4=0\).
