Nierówności
Zadanie 8, czerwiec 2022, poziom rozszerzony
**Rozwiąż nierówność**
\[\frac{3x+1}{2x+1}\leq\frac{3x+4}{2x+3}.\]
Odpowiedź
\[x\in\left(-\infty,-\frac32\right)\cup\left(-\frac12,+\infty\right).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Dziedzina wyklucza \(x=-\frac12\) i \(x=-\frac32\). Przenosimy prawą stronę na lewą:
\[\frac{3x+1}{2x+1}-\frac{3x+4}{2x+3}=\frac{(3x+1)(2x+3)-(3x+4)(2x+1)}{(2x+1)(2x+3)}\]
\[=\frac{-1}{(2x+1)(2x+3)}.\]
Nierówność jest więc równoważna warunkowi
\[(2x+1)(2x+3)>0.\]
Iloczyn jest dodatni poza przedziałem między jego miejscami zerowymi, zatem
\[x\in\left(-\infty,-\frac32\right)\cup\left(-\frac12,+\infty\right).\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda i pełny zbiór rozwiązań
**2 pkt** – sprowadzenie do nierówności \((2x+1)(2x+3)>0\) z poprawnie określoną dziedziną
**1 pkt** – poprawne sprowadzenie różnicy ułamków do wspólnego mianownika albo równoważny poprawny pierwszy krok
**0 pkt** – brak poprawnego postępu
**Uwaga:** pominięcie wykluczeń z dziedziny ogranicza wynik do najwyżej \(2\) pkt.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
R3.7 rozwiązywanie nierówności wymiernych.
