Zliczanie i kombinatoryka
Zadanie 7, czerwiec 2022, poziom rozszerzony
**Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie dwie cyfry nieparzyste.**
Odpowiedź
Takich liczb jest \(27500\).
Rozwiązanie krok po kroku
Najpierw liczymy wszystkie pięcioelementowe ciągi cyfr z dokładnie dwiema cyframi nieparzystymi. Wybieramy ich pozycje na \(\binom52\) sposobów, każdą cyfrę nieparzystą na \(5\) sposobów i każdą z trzech cyfr parzystych także na \(5\) sposobów:
\[\binom52\cdot5^2\cdot5^3=31250.\]
Odejmujemy ciągi zaczynające się zerem. Wtedy dwie pozycje cyfr nieparzystych wybieramy spośród pozostałych czterech miejsc:
\[\binom42\cdot5^2\cdot5^2=3750.\]
Zatem liczba szukanych liczb wynosi
\[31250-3750=27500.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda i wynik \(27500\)
**2 pkt** – poprawne zliczenie wszystkich ciągów oraz ciągów zaczynających się zerem albo poprawne zliczenie dwóch przypadków według parzystości pierwszej cyfry
**1 pkt** – poprawne zapisanie jednego z wymaganych składników zliczenia
**0 pkt** – brak poprawnego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
R10.1 stosowanie kombinacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów.
