Nierówności
Zadanie 8, czerwiec 2021, poziom podstawowy
Równanie \(\frac{(x^{2}-7x)}{(x^{2}-49)}=0\) ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie
A. jedno rozwiązanie
B. dwa rozwiązania
C. trzy rozwiązania
D. cztery rozwiązania
Odpowiedź
A. Jedno rozwiązanie
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Mamy ułamek algebraiczny równy zeru. Podstawowa zasada: ułamek jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy jego licznik jest równy zero, a mianownik jest różny od zera. Dlatego zaczynamy od dziedziny.
**Krok \(2\).** Dziedzina: mianownik nie może się zerować,
\[x^{2}-49\neq 0\ \Longleftrightarrow\ (x-7)(x+7)\neq 0\ \Longleftrightarrow\ x\neq 7\ \text{ i }\ x\neq-7.\]
**Krok \(3\).** Przyrównujemy licznik do zera i rozkładamy go na czynniki:
\[x^{2}-7x=0\ \Longleftrightarrow\ x(x-7)=0.\]
**Krok \(4\).** Stąd \(x=0\) lub \(x=7\).
**Krok \(5\).** Konfrontujemy z dziedziną: liczba \(7\) jest wykluczona, bo dla niej zeruje się także mianownik, a dzielenie przez zero nie ma sensu. Zostaje jedynie \(x=0\).
**Krok \(6\).** Sprawdzamy: \(\frac{0^{2}-7\cdot 0}{0^{2}-49}=\frac{0}{-49}=0\) — równanie jest spełnione, więc rozwiązanie jest dokładnie jedno.
**Uwaga.** Kusi skrócenie ułamka: \(\frac{x(x-7)}{(x-7)(x+7)}=\frac{x}{x+7}\). Skracać wolno, ale warunek \(x\neq 7\) obowiązuje nadal — pochodzi z pierwotnego mianownika. Kto skróci i zapomni o dziedzinie, otrzyma dwa rozwiązania i straci punkt.
**Odpowiedź.** A. Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 8.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2021 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.
