Nierówności
Zadanie 7, czerwiec 2021, poziom podstawowy
Rozwiązaniem równania \(x\sqrt{3}+2=2x-8\) jest
A. \(10(2+\sqrt{3})\)
B. \(\frac{10}{(\sqrt{3}-2)}\)
C. \(10(\sqrt{3}-2)\)
D. \(\frac{(\sqrt{3}+10)}{2}\)
Odpowiedź
**A.** \(10(2+\sqrt3)\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** To zwykłe równanie liniowe, tyle że przy niewiadomej stoi liczba niewymierna \(\sqrt3\). Postępujemy jak zawsze: wyrazy z \(x\) przenosimy na jedną stronę, liczby na drugą, a potem wyłączamy \(x\) przed nawias.
**Krok \(2\).** Przenosimy \(2x\) na lewo, a \(2\) na prawo:
\[x\sqrt3-2x=-8-2,\qquad\text{czyli}\qquad x\sqrt3-2x=-10.\]
**Krok \(3\).** Wyłączamy \(x\) przed nawias:
\[x\left(\sqrt3-2\right)=-10.\]
**Krok \(4\).** Dzielimy obie strony przez \(\sqrt3-2\). Wolno tak zrobić, bo \(\sqrt3\approx1{,}73\), więc \(\sqrt3-2\neq0\):
\[x=\frac{-10}{\sqrt3-2}=\frac{10}{2-\sqrt3}.\]
W ostatnim przejściu zmieniliśmy znaki licznika i mianownika jednocześnie, więc wartość ułamka się nie zmieniła.
**Krok \(5\).** Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez \(2+\sqrt3\):
\[x=\frac{10\left(2+\sqrt3\right)}{\left(2-\sqrt3\right)\left(2+\sqrt3\right)}=\frac{10\left(2+\sqrt3\right)}{2^{2}-\left(\sqrt3\right)^{2}}=\frac{10\left(2+\sqrt3\right)}{4-3}=10\left(2+\sqrt3\right).\]
**Krok \(6\).** Sprawdzamy przybliżeniem: \(x\approx10\cdot3{,}73=37{,}3\). Lewa strona równania to \(37{,}3\cdot1{,}73+2\approx66{,}6\), prawa \(2\cdot37{,}3-8\approx66{,}6\). Zgadza się.
**Uwaga.** Łatwo pomylić się przy znaku: \(\frac{-10}{\sqrt3-2}\) to \(\frac{10}{2-\sqrt3}\), a nie \(\frac{10}{\sqrt3-2}\). Ten drugi zapis prowadzi do błędnego wariantu z liczbą ujemną, bo \(\sqrt3-2\lt0\).
**Odpowiedź.** A, czyli \(10\left(2+\sqrt3\right)\).
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 7.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2021 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.
