Równania i nierówności
Zadanie 27, czerwiec 2019, poziom podstawowy
Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste \(x\), które spełniają warunek
\[\frac{3x^2-8x-3}{x-3}=x-3.\]
Odpowiedź
Jedynym rozwiązaniem jest
\[x=-2.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Równanie ma sens dla \(x\neq3\). Licznik rozkładamy na czynniki:
\[3x^2-8x-3=(3x+1)(x-3).\]
Dla \(x\neq3\) możemy skrócić czynnik \(x-3\), więc równanie jest równoważne równaniu
\[3x+1=x-3.\]
Stąd \(2x=-4\), czyli \(x=-2\). Liczba ta spełnia założenie dziedziny.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – zapisanie, że jedynym rozwiązaniem równania jest \(x=-2\)
**1 pkt** – obliczenie pierwiastków równania kwadratowego powstałego po pomnożeniu przez \(x-3\), tj. \(x=-2\) i \(x=3\), albo poprawne skrócenie wyrażenia po rozkładzie \(3x^2-8x-3=(3x+1)(x-3)\), bez poprawnego zakończenia
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie zawiera przy tym zadaniu osobnej tabeli wymagań.
**Klasyfikacja rzeczowa:** równania wymierne - dziedzina, rozkład trójmianu na czynniki i odrzucenie wartości niedopuszczalnej.
