Nierówności
Zadanie 26, czerwiec 2019, poziom podstawowy
Rozwiąż nierówność \(x ( 7 x + 2 ) > 7 x + 2\) .
Odpowiedź
\(x\in\left(-\infty,-\frac{2}{7}\right)\cup(1,+\infty)\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Po obu stronach nierówności występuje ten sam nawias \(7x+2\). To podpowiedź: przenosimy wszystko na jedną stronę i wyłączamy wspólny czynnik przed nawias, żeby otrzymać postać iloczynową.
**Krok \(2\).** Przenosimy prawą stronę na lewo:
\[x(7x+2)-(7x+2)\gt0.\]
**Krok \(3\).** Wyłączamy \((7x+2)\) przed nawias. Drugi składnik to \(1\cdot(7x+2)\), więc w drugim nawiasie zostaje \(x-1\):
\[(7x+2)(x-1)\gt0.\]
**Krok \(4\).** Znajdujemy miejsca zerowe, przyrównując czynniki do zera:
\[7x+2=0\ \Rightarrow\ x=-\frac27,\qquad x-1=0\ \Rightarrow\ x=1.\]
**Krok \(5\).** Ustalamy kształt paraboli. Po wymnożeniu przy \(x^2\) stoi \(7\cdot1=7\), czyli liczba dodatnia — ramiona skierowane do góry, więc wartości dodatnie są na zewnątrz miejsc zerowych.
**Krok \(6\).** Nierówność jest ostra (\(\gt\)), więc same miejsca zerowe nie należą do zbioru rozwiązań — nawiasy zostają otwarte:
\[x\in\left(-\infty,-\frac27\right)\cup(1,+\infty).\]
**Uwaga.** Kusi, żeby obie strony podzielić przez \(7x+2\) i dostać po prostu \(x\gt1\). Tak nie wolno — nie wiemy, czy \(7x+2\) jest dodatnie, a przy dzieleniu przez liczbę ujemną trzeba odwrócić znak nierówności. Wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias jest zawsze bezpieczne.
**Odpowiedź.** \(x\in\left(-\infty,-\frac27\right)\cup(1,+\infty)\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: pierwiastki −2/7 i 1. 2 pkt: poprawny zbiór rozwiązań.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 26.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.
