Zadanie 6 – matura z matematyki czerwiec 2018, poziom podstawowy

**A.** ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste

**Krok \(1\).** W równaniu niewiadoma stoi w mianowniku ułamka o mianowniku \(2x+1\) — to równanie wymierne. Kolejność postępowania jest tu zawsze taka sama: najpierw dziedzina, potem pozbycie się mianownika, potem rozwiązanie powstałego równania, a na końcu odrzucenie pierwiastków, które wypadły poza dziedzinę. **Krok \(2\).** Wyznaczamy dziedzinę. Mianownik nie może być zerem: \[2x+1\neq 0\ \Longleftrightarrow\ x\neq-\frac12.\] Zapisujemy to od razu, zanim zaczniemy przekształcać równanie. **Krok \(3\).** Mnożymy obie strony przez \(2x+1\) — wolno, bo z dziedziny wiemy, że jest to liczba różna od zera. Składnik \(x\) daje przy tym \[x\cdot(2x+1)=2x^{2}+x,\] więc po uporządkowaniu otrzymujemy równanie kwadratowe postaci \[2x^{2}+x-c=0,\] gdzie \(c\) oznacza liczbę stojącą w liczniku ułamka. **Krok \(4\).** Liczbę rozwiązań równania kwadratowego rozstrzyga wyróżnik: \[\Delta=1^{2}-4\cdot 2\cdot(-c)=1+8c.\] Gdy \(\Delta\gt 0\), trójmian ma dwa różne pierwiastki \[x=\frac{-1-\sqrt{\Delta}}{4}\qquad\text{oraz}\qquad x=\frac{-1+\sqrt{\Delta}}{4}.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy, czy któryś z nich nie wypada z dziedziny. Podstawiając \(x=-\frac12\) do lewej strony, dostajemy \[2\cdot\frac14-\frac12-c=-c,\] więc \(-\frac12\) mogłoby być pierwiastkiem tylko przy \(c=0\), a wtedy w równaniu nie byłoby w ogóle ułamka. Oba pierwiastki należą zatem do dziedziny. **Krok \(6\).** Wniosek: równanie sprowadza się do trójmianu kwadratowego o dodatnim wyróżniku, którego oba pierwiastki są dopuszczalne. Rozwiązań rzeczywistych jest więc dokładnie dwa. **Uwaga.** Dwie rzeczy, na których traci się tu punkt: dziedzina to \(x\neq-\frac12\) (rozwiązujemy \(2x+1=0\), a nie \(2x-1=0\)) oraz obowiązek sprawdzenia na końcu, czy otrzymane pierwiastki nie są liczbą wykluczoną z dziedziny. **Odpowiedź.** A. Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.

Zadanie 6. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.