Równania i nierówności
Zadanie 26, czerwiec 2016, poziom podstawowy
Rozwiąż równanie
\[\frac{2x+1}{2x}=\frac{2x+1}{x+1},\]
gdzie \(x\neq-1\) i \(x\neq0\).
Odpowiedź
\[x\in\left\{-\frac12,1\right\}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Uwzględniamy założenia \(x\neq-1\) i \(x\neq0\). Po pomnożeniu równania przez \(2x(x+1)\) otrzymujemy
\[(2x+1)(x+1)=2x(2x+1),\]
\[(2x+1)(1-x)=0.\]
Stąd \(2x+1=0\) lub \(1-x=0\), czyli \(x=-\frac12\) lub \(x=1\). Obie liczby spełniają założenia.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – wyznaczenie obu rozwiązań: \(x=-\frac12\) i \(x=1\)
**1 pkt** – doprowadzenie równania do postaci \((2x+1)(1-x)=0\) lub wyznaczenie jednego z dwóch rozwiązań
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Klasyfikacja CKE:** równania wymierne - założenia, usuwanie mianowników i równanie w postaci iloczynowej.
