Trójkąty
Zadanie 25, czerwiec 2016, poziom podstawowy
Punkty D i E są środkami przyprostokątnych AC i BC trójkąta prostokątnego ABC. Punkty
F i G leżą na przeciwprostokątnej AB tak, że odcinki DF i EG są do niej prostopadłe (zobacz
rysunek). Pole trójkąta BGE jest równe \(1\), a pole trójkąta AFD jest równe \(4\).
B
G
E
F
A
C D
Zatem pole trójkąta ABC jest równe
A. \(12\) B. \(16\) C. \(18\) D. \(20\)
Odpowiedź
D
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(P\) — pole trójkąta \(ABC\), \(a=\lvert BC\rvert\), \(b=\lvert AC\rvert\), \(c=\lvert AB\rvert\).
Trójkąt \(AFD\) ma kąt prosty przy \(F\) i wspólny kąt przy \(A\) z trójkątem \(ACB\) (kąt prosty przy \(C\)), więc jest do niego podobny. Skala podobieństwa to iloraz przeciwprostokątnych:
\[k_1=\frac{\lvert AD\rvert}{\lvert AB\rvert}=\frac{b/2}{c}=\frac{b}{2c}.\]
Analogicznie dla trójkąta \(BGE\):
\[k_2=\frac{\lvert BE\rvert}{\lvert AB\rvert}=\frac{a}{2c}.\]
Stosunek pól figur podobnych to kwadrat skali, więc
\[4=P\cdot\frac{b^2}{4c^2},\qquad 1=P\cdot\frac{a^2}{4c^2}.\]
Dodając stronami i korzystając z twierdzenia Pitagorasa \(a^2+b^2=c^2\):
\[5=P\cdot\frac{a^2+b^2}{4c^2}=P\cdot\frac{c^2}{4c^2}=\frac../../{4},\qquad P=20.\]
**Odpowiedź.** D. \(20\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 25.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria płaska.
