Równania i nierówności
Zadanie 33, czerwiec 2014, poziom podstawowy
Trasę etapu wyścigu kolarskiego o długości \(150\,\mathrm{km}\) pan Nowak pokonał w czasie o \(1\) godzinę i \(50\) minut krótszym niż jego kolega z drużyny, pan Kowalski. Średnia wartość prędkości, z jaką pan Nowak jechał na tym etapie, była o \(11\,\mathrm{km/h}\) większa od średniej wartości prędkości pana Kowalskiego na tej trasie. Oblicz średnie wartości prędkości, z jakimi przejechali całą trasę obaj zawodnicy.
Odpowiedź
Pan Kowalski jechał ze średnią prędkością \(25\,\mathrm{km/h}\), a pan Nowak \(36\,\mathrm{km/h}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(v\) oznacza średnią prędkość pana Kowalskiego. Wtedy prędkość pana Nowaka wynosi \(v+11\). Różnica czasów przejazdu jest równa \(1\) godzinie i \(50\) minutom, czyli \(\frac{11}{6}\) godziny. Otrzymujemy równanie
\[\frac{150}{v}-\frac{150}{v+11}=\frac{11}{6}.\]
Po przekształceniu
\[v(v+11)=900,\qquad v^2+11v-900=0.\]
Pierwiastki to \(v=25\) i \(v=-36\). Odrzucamy wartość ujemną. Zatem Kowalski jechał ze średnią prędkością \(25\,\mathrm{km/h}\), a Nowak
\[25+11=36\,\mathrm{km/h}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawne prędkości: \(25\,\mathrm{km/h}\) i \(36\,\mathrm{km/h}\)
**3 pkt** – poprawne rozwiązanie równania kwadratowego i wybór dodatniego pierwiastka z drobną usterką końcową
**2 pkt** – poprawne równanie \(\frac{150}{v}-\frac{150}{v+11}=\frac{11}{6}\)
**1 pkt** – poprawne oznaczenie prędkości i czasów obu zawodników
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
Zdający układa i rozwiązuje równanie wymierne opisujące zależność między drogą, prędkością i czasem.
