Ostrosłupy
Zadanie 32, czerwiec 2014, poziom podstawowy
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDS\) (zobacz rysunek) przekątna \(AC\) podstawy ma długość
\[|AC|=4\sqrt2.\]
Kąt \(ASC\) między przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa ma miarę \(60^\circ\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Odpowiedź
\[V=\frac{32\sqrt6}{3}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Przekątna kwadratu podstawy ma długość \(4\sqrt2\), więc bok podstawy jest równy \(4\), a jej pole wynosi
\[P_p=4^2=16.\]
W ostrosłupie prawidłowym \(|SA|=|SC|\). Ponieważ \(\angle ASC=60^\circ\), trójkąt \(ASC\) jest równoboczny o boku \(4\sqrt2\). Spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem \(O\) przekątnej \(AC\), dlatego wysokość ostrosłupa jest wysokością tego trójkąta:
\[H=\frac{\sqrt3}{2}\cdot4\sqrt2=2\sqrt6.\]
Zatem
\[V=\frac13P_pH=\frac13\cdot16\cdot2\sqrt6=\frac{32\sqrt6}{3}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna objętość \(\frac{32\sqrt6}{3}\)
**3 pkt** – poprawne pole podstawy i wysokość \(H=2\sqrt6\), lecz usterka w obliczeniu objętości
**2 pkt** – rozpoznanie, że trójkąt \(ASC\) jest równoboczny, i rozpoczęcie obliczania wysokości
**1 pkt** – poprawne wyznaczenie boku podstawy \(4\) i pola \(16\)
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
Zdający oblicza związki miarowe w ostrosłupie prawidłowym, korzysta z własności trójkąta równobocznego i stosuje wzór na objętość.
