Prosta w układzie współrzędnych
Zadanie 34, czerwiec 2014, poziom podstawowy
Podstawą trójkąta równoramiennego \(ABC\) jest bok \(AB\), gdzie
\[A=(2,1),\qquad B=(5,2).\]
Ramię tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu
\[2x-y-3=0.\]
Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\).
Odpowiedź
\[C=(3,3).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Punkt \(A=(2,1)\) należy do prostej \(2x-y-3=0\), więc na tej prostej leży ramię \(AC\). Niech
\[C=(x,2x-3).\]
Ponieważ podstawą trójkąta równoramiennego jest \(AB\), mamy \(|AC|=|BC|\). Po podniesieniu do kwadratu:
\[(x-2)^2+(2x-4)^2=(x-5)^2+(2x-5)^2.\]
Po uproszczeniu
\[5x^2-20x+20=5x^2-30x+50,\]
stąd \(x=3\). Wtedy \(y=2\cdot3-3=3\), zatem
\[C=(3,3).\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawne współrzędne \(C=(3,3)\)
**3 pkt** – poprawne równanie odległości i wyznaczenie \(x=3\), lecz usterka przy drugiej współrzędnej
**2 pkt** – poprawne zapisanie \(C=(x,2x-3)\) i warunku \(|AC|=|BC|\)
**1 pkt** – poprawne rozpoznanie, że punkt \(A\) należy do podanej prostej i że zawiera ona ramię \(AC\)
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
Zdający wykorzystuje równanie prostej i wzór na odległość punktów do wyznaczania współrzędnych wierzchołka trójkąta równoramiennego.
