Nierówności
Zadanie 33, czerwiec 2013, poziom podstawowy
Grupa znajomych wykupiła wspólnie dostęp do Internetu na okres jednego roku. Opłata miesięczna wynosiła \(120\) złotych. Podzielono tę kwotę na równe części, by każdy ze znajomych płacił tyle samo. Po upływie miesiąca do grupy dołączyły jeszcze dwie osoby i wówczas opłata miesięczna przypadająca na każdego użytkownika zmniejszyła się o \(5\) złotych. Ile osób liczyła ta grupa w pierwszym miesiącu użytkowania Internetu?
Odpowiedź
\(6\) osób
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Stała kwota \(120\) zł dzieli się na tyle samo części, ile jest osób, więc opłata na osobę to \(120\) podzielone przez liczbę osób. Niewiadomą jest liczba osób, a warunek dotyczy różnicy dwóch takich ułamków. To prowadzi do równania z niewiadomą w mianowniku.
**Krok \(2\).** Oznaczmy przez \(n\) liczbę osób w pierwszym miesiącu, gdzie \(n\) jest liczbą naturalną dodatnią. Wtedy każdy płacił
\[\frac{120}{n}\ \text{złotych}.\]
**Krok \(3\).** Po dołączeniu dwóch osób grupa liczy \(n+2\) osób, a opłata na jedną osobę wynosi
\[\frac{120}{n+2}\ \text{złotych}.\]
**Krok \(4\).** Opłata zmniejszyła się o \(5\) złotych, czyli nowa opłata jest o \(5\) mniejsza od starej:
\[\frac{120}{n}-\frac{120}{n+2}=5.\]
**Krok \(5\).** Mnożymy obie strony przez \(n(n+2)\) (to liczba dodatnia, więc równanie pozostaje równoważne):
\[120(n+2)-120n=5n(n+2).\]
**Krok \(6\).** Upraszczamy lewą stronę i rozwijamy prawą:
\[120n+240-120n=5n^2+10n,\qquad 240=5n^2+10n.\]
Dzielimy obie strony przez \(5\) i porządkujemy:
\[n^2+2n-48=0.\]
**Krok \(7\).** Liczymy wyróżnik:
\[\Delta=2^2-4\cdot 1\cdot(-48)=4+192=196,\qquad \sqrt{\Delta}=14,\]
\[n_1=\frac{-2-14}{2}=-8,\qquad n_2=\frac{-2+14}{2}=6.\]
**Krok \(8\).** Liczba osób nie może być ujemna, więc rozwiązanie \(n=-8\) odrzucamy. Zostaje \(n=6\).
**Krok \(9\).** Sprawdzamy: przy \(6\) osobach każda płaciła \(\frac{120}{6}=20\) zł, przy \(8\) osobach \(\frac{120}{8}=15\) zł, a \(20-15=5\). Zgadza się z treścią.
**Uwaga.** Dwie rzeczy do pilnowania. Po pierwsze, ujemnego pierwiastka nie tylko się nie wpisuje do odpowiedzi, ale trzeba jawnie napisać, dlaczego go odrzucamy. Po drugie, pytanie dotyczy grupy w pierwszym miesiącu, czyli liczby \(6\), a nie liczby \(8\) osób po dołączeniu dwóch nowych.
**Odpowiedź.** Grupa liczyła w pierwszym miesiącu \(6\) osób.
Klucz i zasady oceniania
**1–4 pkt** – zapis kosztów przed i po dołączeniu dwóch osób oraz rozwiązanie równania.
**5 pkt** – grupa początkowo liczyła \(6\) osób.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 33. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.
