Geometria analityczna
Zadanie 34, czerwiec 2013, poziom podstawowy
Wierzchołki trapezu \(ABCD\) mają współrzędne
\[A=(-1,-5),\qquad B=(5,1),\qquad C=(1,3),\qquad D=(-2,0).\]
Napisz równanie okręgu, który jest styczny do podstawy \(AB\) tego trapezu, a jego środek jest punktem przecięcia się prostych zawierających ramiona \(AD\) oraz \(BC\) trapezu \(ABCD\).
Odpowiedź
\[(x+3)^2+(y-5)^2=72.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Środek okręgu jest punktem przecięcia prostych zawierających ramiona \(AD\) i \(BC\).
Prosta \(AD\) przez \(A=(-1,-5)\) i \(D=(-2,0)\) ma współczynnik \(\frac{0+5}{-2+1}=-5\), więc \(y=-5x-10\).
Prosta \(BC\) przez \(B=(5,1)\) i \(C=(1,3)\) ma współczynnik \(\frac{3-1}{1-5}=-\frac12\), więc \(y=-\frac12x+\frac72\).
Z porównania
\[-5x-10=-\frac12x+\frac72\quad\Longrightarrow\quad -\frac92x=\frac{27}2\quad\Longrightarrow\quad x=-3,\qquad y=5,\]
więc środkiem okręgu jest \(S=(-3,5)\).
Promień jest odległością \(S\) od prostej \(AB\). Prosta \(AB\) przez \(A=(-1,-5)\) i \(B=(5,1)\) ma równanie \(y=x-4\), czyli \(x-y-4=0\):
\[r=\frac{\left|-3-5-4\right|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{12}{\sqrt2}=6\sqrt2,\qquad r^{2}=72.\]
**Odpowiedź.** \((x+3)^2+(y-5)^2=72\)
Klucz i zasady oceniania
**1–4 pkt** – proste \(AD\) i \(BC\), środek \(S=(-3,\,5)\), punkt styczności i promień \(6\sqrt{2}\).
**5 pkt** – równanie okręgu.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 34. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.
