Graniastosłupy
Zadanie 32, czerwiec 2013, poziom podstawowy
Podstawą graniastosłupa \(ABCDEFGH\) jest prostokąt \(ABCD\) (zobacz rysunek), którego krótszy bok ma długość \(3\). Przekątna prostokąta \(ABCD\) tworzy z jego dłuższym bokiem kąt \(30^\circ\). Przekątna \(HB\) graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt \(60^\circ\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Odpowiedź
\[V=162.\]
Rozwiązanie krok po kroku
W prostokącie \(ABCD\) krótszy bok ma długość \(3\), a przekątna tworzy z dłuższym bokiem kąt \(30^{\circ}\). Krótszy bok leży naprzeciw tego kąta, więc
\[\tan30^{\circ}=\frac{3}{|AB|}\quad\Longrightarrow\quad |AB|=\frac{3}{\tan30^{\circ}}=3\sqrt3,\]
a przekątna podstawy ma długość
\[|DB|=\sqrt{3^{2}+\left(3\sqrt3\right)^{2}}=\sqrt{9+27}=6.\]
Przekątna \(HB\) graniastosłupa rzutuje się na podstawę na odcinek \(DB\), więc kąt \(60^{\circ}\) leży w trójkącie prostokątnym \(HDB\):
\[H=|HD|=|DB|\tan60^{\circ}=6\sqrt3.\]
Objętość:
\[V=|AB|\cdot|BC|\cdot H=3\sqrt3\cdot3\cdot6\sqrt3=162.\]
**Odpowiedź.** \(V=162\)
Klucz i zasady oceniania
**1–3 pkt** – dłuższa krawędź \(3\sqrt{3}\), przekątna \(6\), pole podstawy \(9\sqrt{3}\) i wysokość \(6\sqrt{3}\).
**4 pkt** – \(V=162\).
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 32. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.
