Równania kwadratowe
Zadanie 25, arkusz pokazowy 2015, poziom podstawowy
Rozwiąż równanie
\[\frac{x(x+1)}{x-1}=5x-4,\]
dla \(x\neq1\).
Odpowiedź
\[x\in\left\{\frac12,2\right\}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z założenia \(x\neq1\). Mnożymy równanie przez \(x-1\): \[x(x+1)=(5x-4)(x-1).\] Po rozwinięciu i uporządkowaniu: \[x^2+x=5x^2-9x+4,\qquad 2x^2-5x+2=0.\] Trójmian rozkłada się na \((2x-1)(x-2)=0\), więc \(x=\frac12\) lub \(x=2\). Obie liczby spełniają założenie.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – wyznaczenie obu rozwiązań \(x=\frac12\) i \(x=2\)
**1 pkt** – doprowadzenie do równania \(2x^2-5x+2=0\) lub równoważny istotny postęp
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE publikuje rozwiązanie i punktację. **Klasyfikacja rzeczowa:** równania i nierówności, równanie wymierne i kwadratowe.
