Liczby rzeczywiste
Zadanie 26, arkusz pokazowy 2015, poziom podstawowy
Kwadrat \(K_1\) ma bok długości \(a\). Obok niego rysujemy kolejno kwadraty \(K_2,K_3,K_4,\ldots\) takie, że kolejny kwadrat ma bok o połowę mniejszy od boku poprzedniego kwadratu (zobacz rysunek). Wyznacz pole kwadratu \(K_{12}\).
Odpowiedź
\[P_{K_{12}}=\frac{a^2}{2^{22}}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Boki kolejnych kwadratów tworzą ciąg geometryczny o ilorazie \(\frac12\). Bok kwadratu \(K_n\) ma długość \[a_n=a\left(\frac12\right)^{n-1}.\] Dla \(n=12\) otrzymujemy bok \(\frac{a}{2^{11}}\), więc \[P_{K_{12}}=\left(\frac{a}{2^{11}}\right)^2=\frac{a^2}{2^{22}}.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawne pole \(\frac{a^2}{2^{22}}\)
**1 pkt** – poprawne wyznaczenie boku \(K_{12}\) jako \(\frac{a}{2^{11}}\)
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE publikuje rozwiązanie i punktację. **Klasyfikacja rzeczowa:** ciągi geometryczne i pole kwadratu.
