Inne zagadnienia
Zadanie 15, arkusz pokazowy 2010 P2, poziom podstawowy
Równanie
\[
\frac{2x+1}{x}=3x
\]
**A.** ma dwa rozwiązania: \(x=-\frac13\), \(x=1\).
**B.** ma dwa rozwiązania: \(x=\frac13\), \(x=1\).
**C.** nie ma żadnego rozwiązania.
**D.** ma tylko jedno rozwiązanie: \(x=1\).
Odpowiedź
**A.** ma dwa rozwiązania: \(x=-\frac13\), \(x=1\).
Rozwiązanie krok po kroku
Dziedziną równania jest zbiór \(x\ne0\). Mnożymy obie strony przez \(x\):
\[2x+1=3x^2,\qquad 3x^2-2x-1=0.\]
Obliczamy wyróżnik:
\[\Delta=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-1)=4+12=16,\qquad \sqrt\Delta=4.\]
Stąd
\[x=\frac{2\pm4}{6},\]
czyli \(x=1\) lub \(x=-\frac13\). Oba pierwiastki są różne od zera, więc oba należą do dziedziny.
**Odpowiedź.** A. ma dwa rozwiązania: \(x=-\frac13\), \(x=1\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Sprawdzana umiejętność:** rozwiązywanie równania wymiernego sprowadzalnego do kwadratowego, z wyznaczeniem dziedziny
Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.
