Potęgi i pierwiastki
Zadanie 33.2, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Czas połowicznego rozpadu węgla \(^{14}\mathrm{C}\) wynosi około \(5700\) lat. Masa tego izotopu w znalezisku archeologicznym stanowi \(\frac1{16}\) masy, która występowała podczas życia organizmu.
Oblicz wiek znaleziska. Wynik podaj z dokładnością do stu lat.
Odpowiedź
Znalezisko ma około \(22\,800\) lat.
Rozwiązanie krok po kroku
Dla masy izotopu obowiązuje model
\[m(t)=m_0\left(\frac12\right)^{t/T}.\]
Z warunku zadania
\[\frac1{16}=\left(\frac12\right)^{t/T}=\left(\frac12\right)^4,\]
więc \(t/T=4\). Dla \(T\approx5700\) lat otrzymujemy
\[t=4T\approx4\cdot5700=22\,800\text{ lat}.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda i wynik \(22\,800\) lat
**2 pkt** – zapisanie \(\frac1{16}=(\frac12)^{t/T}\) i wyznaczenie \(t/T=4\)
**1 pkt** – poprawne zapisanie modelu masy izotopu lub pierwszego etapu kolejnych połowień
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - tworzenie modeli praktycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
I.1) Zdający wykonuje działania na potęgach.
V.14) Stosuje funkcję wykładniczą do opisu zagadnień praktycznych.
