Ciągi
Zadanie 34, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem rekurencyjnym
\[\begin{cases}a_1=-2,\\a_{n+1}=n\cdot a_n+4 & \text{dla każdej liczby naturalnej }n\geq1.\end{cases}\]
Oblicz sumę czterech początkowych wyrazów ciągu \((a_n)\).
Odpowiedź
\[S_4=36.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy kolejno ze wzoru rekurencyjnego:
\[a_1=-2,\]
\[a_2=1\cdot a_1+4=1\cdot(-2)+4=2,\]
\[a_3=2\cdot a_2+4=2\cdot2+4=8,\]
\[a_4=3\cdot a_3+4=3\cdot8+4=28.\]
Zatem
\[S_4=a_1+a_2+a_3+a_4=-2+2+8+28=36.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawne obliczenie \(a_2=2\), \(a_3=8\), \(a_4=28\) oraz sumy \(S_4=36\)
**1 pkt** – poprawne obliczenie drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu ciągu
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
I. Sprawność rachunkowa - wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi.
**Wymagania szczegółowe:**
VI.2) Zdający oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie.
