Potęgi i pierwiastki
Zadanie 20, próbna styczeń 2003, poziom rozszerzony
Funkcja \(h\) jest określona wzorem \(h(x)=\log_{2}(x^{2}-4)-\log_{2}(x-5)\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(k\), dla których równanie \(h(x)-\log_{2}k=0\) ma dwa różne pierwiastki.
Odpowiedź
\(k\in\left(10+2\sqrt{21},\,+\infty\right)\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** \(20\). \(37\). Wyznaczenie warunków określających dziedzinę równania
**Krok \(2\).** (\(10\) pkt) \(h\)(x) − log k = \(0\) : x > \(5\) i k > \(0\) .
**Krok \(3\).** \(x^{2}\) − \(4\)
**Krok \(4\).** \(38\). Przekształcenie równania \(h\)(x) − log k = \(0\) do postaci: = k
**Krok \(5\).** x − \(5\)
**Krok \(6\).** \(39\). Przekształcenie równania do postaci: x \(2\) − kx + \(5k\) − \(4 = 0\) .
**Krok \(7\).** ∆ > \(0\)
**Krok \(8\).** \(40\). Zapisanie układu warunków x > \(5\) , gdzie x oznacza odciętą
**Odpowiedź.** Rozwiązanie i punktacja: zobacz pełny klucz CKE poniżej.
Klucz i zasady oceniania
**37. (2 pkt)** – wyznaczenie warunków określających dziedzinę równania \(h(x)-\log_{2}k=0\): \(x>5\) i \(k>0\).
**38. (1 pkt)** – przekształcenie równania \(h(x)-\log_{2}k=0\) do postaci: \(\frac{x^{2}-4}{x-5}=k\).
**39. (1 pkt)** – przekształcenie równania do postaci: \(x^{2}-kx+5k-4=0\).
**40. (1 pkt)** – zapisanie układu warunków \(\begin{cases}\Delta>0\\ x_{w}>5\\ f(5)>0\end{cases}\), gdzie \(x_{w}\) oznacza odciętą wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji \(f=x^{2}-kx+5k-4\), przy pewnej wartości \(k\).
**41. (1 pkt)** – obliczenie wyróżnika trójmianu: \(\Delta=k^{2}-20k+16\).
**42. (1 pkt)** – rozwiązanie nierówności \(\Delta>0\): \(\Delta>0\Leftrightarrow k\in\left(-\infty;10-2\sqrt{21}\right)\cup\left(10+2\sqrt{21};\infty\right)\).
**43. (1 pkt)** – rozwiązanie nierówności \(x_{w}>5\): \(k\in(10;\infty)\).
**44. (1 pkt)** – sprawdzenie, że warunek \(f(5)>0\) zachodzi dla każdej rzeczywistej wartości parametru \(k\).
**44. (1 pkt)** – zapisanie odpowiedzi, uwzględniającej zbiór rozwiązań układu nierówności z p. 40 oraz warunku \(k>0\): Dla wszystkich \(k\in\left(10+2\sqrt{21};\infty\right)\) równanie \(h(x)-\log_{2}k=0\) ma dwa różne pierwiastki.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
