Potęgi i pierwiastki
Zadanie 31, maj 2016, poziom podstawowy
Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem
\[R=\log\frac{A}{A_0},\]
gdzie \(A\) oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, \(A_0=10^{-4}\,\text{cm}\) jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. \(5\) maja \(2014\) roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile \(6{,}2\) w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy mniejsza od \(100\,\text{cm}\).
Odpowiedź
\[A=10^{2{,}2}\,\text{cm}>100\,\text{cm}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Podstawiamy dane do wzoru:
\[6{,}2=\log\frac{A}{10^{-4}}.\]
Z definicji logarytmu
\[10^{6{,}2}=\frac{A}{10^{-4}},\qquad A=10^{6{,}2}\cdot10^{-4}=10^{2{,}2}\,\text{cm}.\]
Ponieważ \(10^{2{,}2}>10^2=100\), amplituda jest większa od \(100\,\text{cm}\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – wyznaczenie \(A=10^{2{,}2}\,\text{cm}\) i poprawne porównanie z \(100\,\text{cm}\)
**1 pkt** – poprawne zastosowanie definicji logarytmu lub uzasadnienie porównania bez pełnego wyniku
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE III. Modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
1.6 i
1.5 definicja logarytmu oraz własności potęg.
