Logarytmy
Zadanie 13, próbna styczeń 2006, poziom rozszerzony
Wyznacz dziedzinę funkcji
\[f(x)=\log_x\left(4^x-12\cdot2^x+32\right).\]
Odpowiedź
\[D=(0,1)\cup(1,2)\cup(3,+\infty).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Zapisujemy wszystkie warunki istnienia logarytmu \(\log_x\bigl(4^x-12\cdot2^x+32\bigr)\): podstawa dodatnia i różna od jedynki oraz argument dodatni:
\[x>0,\qquad x\neq1,\qquad 4^x-12\cdot2^x+32>0.\]
Trzecią nierówność sprowadzamy do kwadratowej podstawieniem \(t=2^x\), przy czym \(t>0\) dla każdego \(x\). Ponieważ \(4^x=\left(2^2\right)^x=\left(2^x\right)^2=t^2\):
\[t^2-12t+32>0,\qquad (t-4)(t-8)>0,\]
skąd \(t<4\) lub \(t>8\). Wracamy do zmiennej \(x\); funkcja \(2^x\) jest rosnąca, więc
\[2^x<2^2\iff x<2,\qquad 2^x>2^3\iff x>3.\]
Częścią wspólną warunków \(x>0\), \(x\neq1\) oraz \((x<2\) lub \(x>3)\) jest
\[D=(0,1)\cup(1,2)\cup(3,+\infty).\]
**Odpowiedź.** \(D=(0,1)\cup(1,2)\cup(3,+\infty)\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**13.1. (1 pkt)** – zapisanie założeń: \(x>0\) i \(x\neq 1\) i \(4^{x}-12\cdot 2^{x}+32>0\).
**13.2. (1 pkt)** – doprowadzenie nierówności \(4^{x}-12\cdot 2^{x}+32>0\) do postaci, na przykład \(t^{2}-12t+32>0\), gdzie \(t=2^{x}\) i \(t>0\).
**13.3. (1 pkt)** – rozwiązanie nierówności ze zmienną \(t\): \(t<4\) lub \(t>8\).
**13.4. (1 pkt)** – rozwiązanie nierówności: \(2^{x}<4\) lub \(2^{x}>8\): \(x<2\) lub \(x>3\).
**13.5. (1 pkt)** – wyznaczenie dziedziny funkcji \(f\): \(D=(0,\,1)\cup(1,\,2)\cup(3,\,\infty)\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
