Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 30, maj 2016, poziom podstawowy
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem
\[a_n=2n^2+2n\]
dla \(n\geq1\). Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.
Odpowiedź
\[a_n+a_{n+1}=(2n+2)^2.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Mamy
\[a_{n+1}=2(n+1)^2+2(n+1)=2n^2+6n+4.\]
Zatem
\[a_n+a_{n+1}=2n^2+2n+2n^2+6n+4=4n^2+8n+4=(2n+2)^2.\]
Liczba \(2n+2\) jest naturalna, co kończy dowód.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – pełny dowód
**1 pkt** – poprawne zapisanie sumy \(a_n+a_{n+1}\), bez zakończenia rozumowania
**0 pkt** – sprawdzenie tezy wyłącznie dla konkretnych wartości \(n\) lub brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE V. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
2.1 wzory skróconego mnożenia.
