![Rozwiązanie zadania 14, matura z matematyki maj 2002, poziom rozszerzony: Zaznacz na płaszczyźnie zbiór F= \(x,y):x∈R y∈R1/2(|x|-1)≥-2|y|>0. Napisz równania osi symetrii figury F. Odpowiedź: x∈[-5,-1)(1,5], y∈R\0. Osie symetrii figury: x=0 oraz y=0](rozwiazanie.webp)
Logarytmy
Zadanie 14, maj 2002, poziom rozszerzony
Zaznacz na płaszczyźnie zbiór \(F=\left\{(x,y):x\in\mathbb{R}\land y\in\mathbb{R}\land\log_{\frac{1}{2}}(|x|-1)\geq-2\land|y|>0\right\}\).
Napisz równania osi symetrii figury \(F\).
Odpowiedź
\(x\in[-5,-1)\cup(1,5]\), \(y\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Osie symetrii figury: \(x=0\) oraz \(y=0\).
Rozwiązanie krok po kroku
Zbiór \(F\) opisują dwa warunki. Zaczynamy od pierwszego z nich; logarytm istnieje, gdy jego argument jest dodatni:
\[|x|-1>0,\qquad\text{czyli}\qquad |x|>1.\]
Podstawa \(\frac12\) jest mniejsza od \(1\), więc funkcja logarytmiczna jest malejąca i przy opuszczaniu logarytmu zwrot nierówności się odwraca:
\[\log_{\frac12}(|x|-1)\geq-2\iff |x|-1\leq\left(\tfrac12\right)^{-2}=4.\]
Stąd \(|x|\leq5\). Łącząc z warunkiem dziedziny \(|x|>1\), otrzymujemy \(1<|x|\leq5\), czyli
\[x\in[-5,-1)\cup(1,5].\]
Zwróćmy uwagę na końce: przy \(|x|=1\) przedział jest otwarty (argument logarytmu byłby zerem), przy \(|x|=5\) domknięty (nierówność jest nieostra).
Drugi warunek \(|y|>0\) oznacza po prostu \(y\neq0\).
Figura \(F\) to więc dwa pionowe pasy \(-5\leq x<-1\) oraz \(1<x\leq5\) z usuniętą osią \(Ox\). Opis jest symetryczny względem zamiany \(x\to-x\) i \(y\to-y\), więc osiami symetrii są obie osie układu.
**Odpowiedź.** \(x\in[-5,-1)\cup(1,5]\), \(y\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\); osie symetrii figury \(F\) to \(x=0\) oraz \(y=0\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**14.1. (1 pkt)** – zapisanie warunków dla nierówności logarytmicznej, w tym dziedziny \(\lvert x\rvert-1>0\), czyli \(x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)
**14.2. (1 pkt)** – wykorzystanie monotoniczności funkcji logarytmicznej do rozwiązania nierówności i doprowadzenie jej do postaci \(\lvert x\rvert-1\leq4\)
**14.3. (1 pkt)** – rozwiązanie nierówności \(\lvert x\rvert-1\leq4\) z uwzględnieniem dziedziny: \(x\in[-5,-1)\cup(1,5]\)
**14.4. (1 pkt)** – rozwiązanie nierówności \(\lvert y\rvert>0\): \(y\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\)
**14.5. (1 pkt)** – naszkicowanie figury \(F\)
**14.6. (1 pkt)** – napisanie równań osi symetrii figury \(F\): \(x=0\), \(y=0\)
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
