Odczytywanie własności z wykresu
Zadanie 15, maj 2002, poziom rozszerzony
Objętość walca jest równa \(250\pi\,\mathrm{cm}^{3}\). Przedstaw pole powierzchni całkowitej tego walca jako funkcję długości promienia jego podstawy i określ dziedzinę tej funkcji. Wyznacz długość promienia takiego walca, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.
Odpowiedź
\(P(r)=2\pi r^{2}+\dfrac{500\pi}{r}\), dziedzina: \(r\in(0,+\infty)\). Pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze dla \(r=5\ \mathrm{cm}\) i wynosi wtedy \(150\pi\ \mathrm{cm}^{2}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Objętość walca o promieniu podstawy \(r\) i wysokości \(h\) wyraża się wzorem \(V=\pi r^{2}h\). Z warunku \(\pi r^{2}h=250\pi\) otrzymuję \(h=\dfrac{250}{r^{2}}\).
**Krok \(2\).** Pole powierzchni całkowitej walca: \[P=2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r^{2}+2\pi r\cdot\frac{250}{r^{2}}=2\pi r^{2}+\frac{500\pi}{r}=\frac{2\pi r^{3}+500\pi}{r}.\]
**Krok \(3\).** Promień podstawy jest liczbą dodatnią i dla każdego \(r\gt0\) istnieje odpowiadająca mu wysokość \(h=\dfrac{250}{r^{2}}\gt0\), zatem dziedziną funkcji \(P\) jest zbiór \(r\in(0,+\infty)\).
**Krok \(4\).** Wyznaczam pochodną: \[P'(r)=4\pi r-\frac{500\pi}{r^{2}}=\frac{4\pi r^{3}-500\pi}{r^{2}}.\]
**Krok \(5\).** Rozwiązuję równanie \(P'(r)=0\): \(4\pi r^{3}-500\pi=0\), czyli \(r^{3}=125\), a stąd \(r=5\).
**Krok \(6\).** Badam znak pochodnej: dla \(r\in(0,5)\) mamy \(P'(r)\lt0\) (funkcja maleje), a dla \(r\in(5,+\infty)\) mamy \(P'(r)\gt0\) (funkcja rośnie). Zatem dla \(r=5\) funkcja \(P\) przyjmuje wartość najmniejszą, równą \(P(5)=2\pi\cdot5^{2}+\dfrac{500\pi}{5}=50\pi+100\pi=150\pi\).
**Odpowiedź.** \(P(r)=2\pi r^{2}+\dfrac{500\pi}{r}\) dla \(r\in(0,+\infty)\); pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze dla promienia \(r=5\ \mathrm{cm}\) i wynosi wtedy \(150\pi\ \mathrm{cm}^{2}\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**15.1. (1 pkt)** – [fragment nieczytelny] w zależności od długości \(r\) promienia podstawy: \(h=\frac{250}{r^{2}}\)
**15.2. (1 pkt)** – wyznaczenie pola powierzchni całkowitej walca jako funkcji zmiennej \(r\): \(P(r)=\frac{2\pi r^{3}+500\pi}{r}\)
**15.3. (1 pkt)** – określenie dziedziny funkcji \(P(r)\): \(r\in(0,+\infty)\)
**15.4. (1 pkt)** – wyznaczenie \(P^{\prime}(r)\): \(P^{\prime}(r)=\frac{4\pi r^{3}-500\pi}{r^{2}}\)
**15.5. (1 pkt)** – rozwiązanie równania \(P^{\prime}(r)=0\): \(r=5\)
**15.6. (1 pkt)** – uzasadnienie, że dla \(r=5\) funkcja przyjmuje wartość najmniejszą
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
