Geometria analityczna
Zadanie 13, maj 2002, poziom rozszerzony
Sprawdź, że przekształcenie \(P\) płaszczyzny dane wzorem \(P((x,y))=(x+1,-y)\) jest izometrią. Wyznacz równanie obrazu okręgu o równaniu \(x^{2}+y^{2}-2x=0\) w przekształceniu \(P\).
Odpowiedź
Przekształcenie \(P\) jest izometrią, a obrazem danego okręgu jest okrąg o równaniu \(x^2+y^2-4x+3=0\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Izometria.** Niech \(A=(x_1,y_1)\) i \(B=(x_2,y_2)\). Wtedy \(P(A)=(x_1+1,-y_1)\) oraz \(P(B)=(x_2+1,-y_2)\), a zatem
\[\left|P(A)P(B)\right|=\sqrt{\left((x_2+1)-(x_1+1)\right)^{2}+\left(-y_2+y_1\right)^{2}}=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}=|AB|.\]
Przekształcenie zachowuje odległość dowolnych dwóch punktów, więc jest izometrią.
**Obraz okręgu.** Dany okrąg zapisujemy w postaci kanonicznej:
\[x^{2}+y^{2}-2x=0\quad\Longleftrightarrow\quad (x-1)^{2}+y^{2}=1,\]
więc ma środek \((1,0)\) i promień \(1\). Izometria przeprowadza okrąg na okrąg o tym samym promieniu, a obrazem środka jest
\[P\left((1,0)\right)=(2,0).\]
Obraz ma więc równanie
\[(x-2)^{2}+y^{2}=1\quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+y^{2}-4x+3=0.\]
**Odpowiedź.** \(x^2+y^2-4x+3=0\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**13.1. (1 pkt)** – powołanie się na definicję izometrii
**13.2. (1 pkt)** – wybór dwóch różnych punktów \(A\) i \(B\) i wyznaczenie współrzędnych ich obrazów \(A^{\prime}\) i \(B^{\prime}\)
**13.3. (1 pkt)** – sprawdzenie, że odległości \(AB\) i \(A^{\prime}B^{\prime}\) są równe
**13.4. (2 pkt)** – wyznaczenie równania obrazu danego okręgu w przekształceniu \(P\): np. \(x^{2}+y^{2}-4x+3=0\)
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
