Potęgi i pierwiastki
Zadanie 3, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu wielomianu \(W\) określonego wzorem
\[W(x)=\frac18x^3-2x^2+\frac{67}{8}x-3\]
dla każdego \(x\in\mathbb{R}\).
Oblicz wszystkie pierwiastki wielomianu \(W\). Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
Pierwiastki wielomianu to \(4-\sqrt{13}\), \(4+\sqrt{13}\) oraz \(8\).
Rozwiązanie krok po kroku
Zapisujemy
\[W(x)=\frac18(x^3-16x^2+67x-24).\]
Z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych oraz z przedstawionego fragmentu wykresu wynika, że całkowitego pierwiastka należy szukać wśród \(8,12,24\). Sprawdzamy:
\[W(8)=\frac18(8^3-16\cdot8^2+67\cdot8-24)=0.\]
Dzieląc przez \(x-8\), otrzymujemy
\[W(x)=\frac18(x-8)(x^2-8x+3).\]
Równanie \(x^2-8x+3=0\) ma rozwiązania \(x=4-\sqrt{13}\) i \(x=4+\sqrt{13}\). Razem z \(x=8\) są to wszystkie pierwiastki \(W\).
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – obliczenie wszystkich pierwiastków wielomianu \(W\)
**2 pkt** – sprawdzenie, że \(8\) jest pierwiastkiem, oraz podzielenie \(W\) przez \(x-8\)
**1 pkt** – zastosowanie twierdzenia o pierwiastkach całkowitych do \(x^3-16x^2+67x-24\) i określenie możliwych pierwiastków całkowitych
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie informacji przedstawionych w formie wykresu. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
II.1 R) Zdający dzieli wielomian jednej zmiennej \(W(x)\) przez dwumian \(x-a\).
II.3 R) Znajduje pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych.
