Równania i nierówności
Zadanie 6, czerwiec 2025, poziom podstawowy
Równanie \(4(x-1)^{2}(x^{2}-25)=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
**A.** dwa rozwiązania.
**B.** trzy rozwiązania.
**C.** cztery rozwiązania.
**D.** pięć rozwiązań.
Odpowiedź
**B.** Równanie ma trzy różne rozwiązania: \(x=1\), \(x=-5\) oraz \(x=5\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Równanie jest już zapisane w postaci iloczynowej, a po prawej stronie stoi zero. Korzystamy więc z zasady: iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Rozpatrujemy każdy czynnik osobno.
**Krok \(2\).** Czynnik \(4\) jest stałą różną od zera, więc nie daje żadnego rozwiązania. Możemy przez niego podzielić obie strony:
\[(x-1)^{2}\left(x^{2}-25\right)=0.\]
**Krok \(3\).** Pierwszy czynnik:
\[(x-1)^{2}=0\ \Longleftrightarrow\ x-1=0\ \Longleftrightarrow\ x=1.\]
**Krok \(4\).** Drugi czynnik rozkładamy wzorem na różnicę kwadratów:
\[x^{2}-25=(x-5)(x+5)=0\ \Longleftrightarrow\ x=5\ \text{ lub }\ x=-5.\]
**Krok \(5\).** Zbieramy wszystkie znalezione liczby: \(-5\), \(1\), \(5\). Są one parami różne, więc równanie ma trzy różne rozwiązania.
**Uwaga.** Kwadrat przy nawiasie \((x-1)^{2}\) nie zwiększa liczby rozwiązań — mówimy wtedy o pierwiastku podwójnym, ale to wciąż jedna liczba \(x=1\). Zadanie pyta, ile jest rozwiązań, a nie ile wynosi suma ich krotności.
**Odpowiedź.** B. Równanie ma dokładnie trzy rozwiązania: \(x=-5\), \(x=1\), \(x=5\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Wymaganie ogólne: II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
Wymaganie szczegółowe: 3.7) Korzysta z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań.
