Równania i nierówności
Zadanie 7, czerwiec 2025, poziom podstawowy
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równanie \(4(x-1)^{2}(x^{2}-25)=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
**A.** dwa rozwiązania.
**B.** trzy rozwiązania.
**C.** cztery rozwiązania.
**D.** pięć rozwiązań.
Odpowiedź
**B.** Równanie ma trzy różne rozwiązania: \(x=1\), \(x=-5\) oraz \(x=5\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Równanie jest już zapisane w postaci iloczynowej, więc nie ma po co niczego wymnażać. Iloczyn jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy zeruje się któryś z czynników. Czynnik liczbowy \(4\) nigdy nie jest zerem, więc go pomijamy.
**Krok \(2\).** Rozbijamy równanie na dwa prostsze:
\[(x-1)^2=0\qquad\text{lub}\qquad x^2-25=0.\]
**Krok \(3\).** Pierwsze: kwadrat jest zerem tylko wtedy, gdy zerowana jest podstawa, więc
\[x-1=0\ \Rightarrow\ x=1.\]
**Krok \(4\).** Drugie: \(x^2=25\), a stąd
\[x=5\qquad\text{lub}\qquad x=-5.\]
**Krok \(5\).** Zbieramy wszystkie znalezione liczby: \(1\), \(5\), \(-5\). Sprawdzamy, czy któraś się nie powtarza — nie, są trzy różne liczby.
**Krok \(6\).** Równanie ma zatem dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.
**Uwaga.** Czynnik \((x-1)^2\) daje pierwiastek podwójny, ale pytanie dotyczy liczby rozwiązań, a nie krotności. Liczba \(1\) jest jednym rozwiązaniem, więc nie wolno liczyć jej dwa razy — stąd trzy, a nie cztery (odpowiedź C to właśnie ta pomyłka).
**Odpowiedź.** B: równanie ma dokładnie trzy rozwiązania: \(x=-5\), \(x=1\), \(x=5\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Wymaganie ogólne: III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
Wymaganie szczegółowe: III.5) Rozwiązuje równania wielomianowe w postaci iloczynowej; II.1) stosuje różnicę kwadratów.
