Potęgi i pierwiastki
Zadanie 2, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
Dane są liczby
\[a=\left(\log_{\sqrt5}2\right)\cdot\log_2 25\qquad\text{oraz}\qquad b=\frac{\log_5 6}{\log_5 8}.\]
Oblicz \(a^{b+1}\).
Odpowiedź
\[a^{b+1}=4\sqrt[3]{36}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu:
\[a=\log_{\sqrt5}2\cdot\log_2 25=\frac{\log_2 2}{\log_2\sqrt5}\cdot2\log_2 5=4,\]
\[b=\frac{\log_5 6}{\log_5 8}=\log_8 6=\frac13\log_2 6=\log_2\sqrt[3]{6}.\]
Zatem
\[a^{b+1}=4^{\log_2\sqrt[3]{6}+1}=2^{2\log_2\sqrt[3]{6}}\cdot4=4\sqrt[3]{36}.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik
**2 pkt** – poprawne obliczenie \(a\) oraz przekształcenie \(b\) do postaci logarytmu o podstawie \(2\) lub \(4\), np. \(b=\log_2\sqrt[3]{6}\)
**1 pkt** – poprawne obliczenie \(a\) lub poprawne przekształcenie \(b\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
I. Sprawność rachunkowa. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi.
**Wymagania szczegółowe:**
I.1) Zdający wykonuje działania, w tym potęgowanie, pierwiastkowanie i logarytmowanie, w zbiorze liczb rzeczywistych. I.R) Stosuje wzór na zmianę podstawy logarytmu.
