Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 5, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
Wielomian \(W\) jest określony wzorem
\[W(x)=(x-1)(x^2-mx+m-1)\]
dla każdego \(x\in\mathbb{R}\).
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których wielomian \(W\) ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\[m=2.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Liczba \(1\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W\). Aby była jego jedynym pierwiastkiem rzeczywistym, trójmian
\[x^2-mx+m-1\]
musi nie mieć pierwiastków rzeczywistych albo mieć jedno podwójne miejsce zerowe równe \(1\). Jego wyróżnik wynosi
\[\Delta=m^2-4(m-1)=(m-2)^2.\]
Warunek \(\Delta<0\) jest niemożliwy. Z warunków \(\Delta=0\) oraz \(x_0=\frac{m}{2}=1\) otrzymujemy \(m=2\). Wtedy
\[W(x)=(x-1)^3,\]
więc rzeczywiście jedynym pierwiastkiem rzeczywistym jest \(1\).
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik
**2 pkt** – wyznaczenie wartości \(m\), dla których trójmian \(x^2-mx+m-1\) nie ma miejsc zerowych, albo wartości, dla których ma jedno miejsce zerowe równe \(1\)
**1 pkt** – zauważenie, że \(1\) jest pierwiastkiem \(W\), i zapisanie warunków zapewniających dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, oraz uzasadnianie poprawności rozwiązania.
**Wymagania szczegółowe:**
III.5 R) Zdający analizuje równania i nierówności liniowe oraz kwadratowe z parametrami, w szczególności wyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametru.
