Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 5, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Dany jest wielomian
\[W(x)=(x-1)(x^2-mx+m-1),\]
gdzie \(m\) jest parametrem rzeczywistym.
**Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których wielomian \(W\) ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty.**
Odpowiedź
\(m=2\)
Rozwiązanie krok po kroku
Liczba \(1\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W\) dla każdej wartości parametru \(m\). Aby \(W\) miał dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty, trójmian
\[x^2-mx+m-1\]
nie może mieć pierwiastków rzeczywistych albo jego jedynym pierwiastkiem musi być \(1\). Jego wyróżnik jest równy
\[\Delta=m^2-4(m-1)=(m-2)^2.\]
Warunek \(\Delta<0\) nie ma rozwiązań. Dla \(\Delta=0\) otrzymujemy \(m=2\), a podwójny pierwiastek trójmianu ma wtedy wartość \(m/2=1\). Zatem jedyną szukaną wartością jest \(m=2\).
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawne uzasadnienie i wyznaczenie \(m=2\)
**2 pkt** – wyznaczenie wszystkich wartości \(m\), dla których trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych albo ma wyłącznie pierwiastek \(1\)
**1 pkt** – zauważenie, że \(1\) jest zawsze pierwiastkiem wielomianu, oraz zapisanie warunków dla drugiego czynnika
**0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV.1 prowadzenie rozumowania i dobieranie strategii rozwiązania.
**Wymagania szczegółowe:**
III.5R rozwiązywanie równań i nierówności kwadratowych z parametrem.
