Potęgi i pierwiastki
Zadanie 3, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Dany jest wielomian
\[W(x)=4x^3-19x^2-12x+18.\]
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji \(y=W(x)\).
**Oblicz wszystkie pierwiastki wielomianu \(W\).**
Odpowiedź
Pierwiastkami wielomianu są \(2-\sqrt{10}\), \(\frac34\) oraz \(2+\sqrt{10}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z wykresu odczytujemy kandydaturę \(x=\frac34\) i sprawdzamy, że \(W\!\left(\frac34\right)=0\). Dzielimy wielomian przez \(x-\frac34\):
\[W(x)=\left(x-\frac34\right)(4x^2-16x-24).\]
Rozwiązujemy równanie kwadratowe
\[4x^2-16x-24=0,\]
którego pierwiastkami są \(2-\sqrt{10}\) i \(2+\sqrt{10}\). Ostatecznie
\[x\in\left\{2-\sqrt{10},\frac34,2+\sqrt{10}\right\}.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – wyznaczenie wszystkich trzech pierwiastków: \(2-\sqrt{10}\), \(\frac34\), \(2+\sqrt{10}\)
**2 pkt** – sprawdzenie, że \(\frac34\) jest pierwiastkiem, oraz poprawne podzielenie wielomianu przez \(x-\frac34\)
**1 pkt** – zastosowanie twierdzenia o pierwiastkach wymiernych i wskazanie kandydatów na pierwiastki
**0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II.1 oraz III.2 odczytywanie informacji z diagramu i tworzenie modelu matematycznego.
**Wymagania szczegółowe:**
II.6 i II.1R dzielenie wielomianu przez dwumian oraz stosowanie twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych.
