Potęgi i pierwiastki
Zadanie 2, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Dane są liczby
\[a=\left(\log_{\sqrt5}2\right)\cdot\log_2 25,\qquad b=\frac{\log_5 6}{\log_5 8}.\]
**Oblicz wartość wyrażenia \(a^{b+1}\).**
Odpowiedź
\(a^{b+1}=4\sqrt[3]{36}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystając ze zmiany podstawy logarytmu, obliczamy
\[a=\left(\log_{\sqrt5}2\right)\log_2 25=\frac{\log_5 2}{\log_5\sqrt5}\cdot\frac{\log_5 25}{\log_5 2}=4.\]
Ponadto
\[b=\frac{\log_5 6}{\log_5 8}=\log_8 6=\log_2\sqrt[3]{6}.\]
Zatem
\[a^{b+1}=4^{\log_2\sqrt[3]{6}+1}=2^{2\log_2\sqrt[3]{6}}\cdot4=4\sqrt[3]{36}.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawne obliczenie \(a^{b+1}=4\sqrt[3]{36}\)
**2 pkt** – obliczenie \(a=4\) oraz sprowadzenie \(b\) do postaci \(\log_2\sqrt[3]{6}\)
**1 pkt** – poprawne obliczenie \(a\) albo poprawne uproszczenie \(b\)
**0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
I oraz III.1 wykonywanie obliczeń i przekształceń oraz dobieranie reprezentacji matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
I.1 i I.1R działania na potęgach i logarytmach, w tym stosowanie wzoru na zmianę podstawy logarytmu.
