Równania i nierówności
Zadanie 16, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
**Wykaż, że równanie**
\[x^4-7x^3+9x^2+8x-2=0\]
**ma w przedziale \((-2,2)\) co najmniej dwa różne rozwiązania.**
Odpowiedź
Równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie w \((-1,0)\) i co najmniej jedno inne rozwiązanie w \((0,1)\).
Rozwiązanie krok po kroku
Niech
\[f(x)=x^4-7x^3+9x^2+8x-2.\]
Funkcja \(f\) jest wielomianowa, a więc ciągła. Obliczamy
\[f(-1)=7>0,\qquad f(0)=-2<0,\qquad f(1)=9>0.\]
Z własności Darboux istnieje \(x_1\in(-1,0)\), dla którego \(f(x_1)=0\), oraz \(x_2\in(0,1)\), dla którego \(f(x_2)=0\). Przedziały są rozłączne, więc \(x_1\ne x_2\), a oba rozwiązania należą do \((-2,2)\).
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego dowodu
**2 pkt** – podanie trzech argumentów \(x_1<x_2<x_3\) z przedziału \((-2,2)\), dla których \(f(x_1)>0\), \(f(x_2)<0\) i \(f(x_3)>0\)
**1 pkt** – podanie dwóch argumentów \(x_1<x_2\) z przedziału \((-2,2)\), dla których \(f(x_1)f(x_2)<0\)
**0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV.1 i IV.4 przeprowadzanie rozumowań oraz stosowanie strategii również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII.2R stosowanie własności Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji.
