Nierówności
Zadanie 15, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
**Rozwiąż nierówność**
\[\left(2-\cos x\right)^2\le4\sin^2\frac{x}{2}-4\cos^2\frac{x}{2}+4{,}75\]
**w zbiorze \((0,\pi)\).**
Odpowiedź
\[x\in\left[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right].\]
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy ze wzoru \(\cos x=\cos^2\frac x2-\sin^2\frac x2\). Po rozwinięciu lewej strony i uproszczeniu nierówności otrzymujemy
\[\cos^2x\le\frac34,\]
czyli
\[|\cos x|\le\frac{\sqrt3}{2}.\]
Warunek ten jest równoważny koniunkcji
\[\cos x\le\frac{\sqrt3}{2}\qquad\text{oraz}\qquad\cos x\ge-\frac{\sqrt3}{2}.\]
W przedziale \((0,\pi)\) pierwsza nierówność daje \(x\in[\frac\pi6,\pi)\), a druga \(x\in(0,\frac{5\pi}{6}]\). Ich częścią wspólną jest
\[x\in\left[\frac\pi6,\frac{5\pi}{6}\right].\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawne rozwiązanie nierówności w zbiorze \((0,\pi)\)
**3 pkt** – poprawne rozwiązanie jednej z nierówności \(\cos x\le\frac{\sqrt3}{2}\) lub \(\cos x\ge-\frac{\sqrt3}{2}\)
**2 pkt** – zapisanie nierówności \(\cos^2x\le\frac34\) jako koniunkcji dwóch nierówności
**1 pkt** – przekształcenie nierówności do postaci zawierającej jedną funkcję trygonometryczną zmiennej \(x\)
**0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III.1 i IV.2 operowanie obiektami matematycznymi oraz dostrzeganie regularności i formułowanie uzasadnionych wniosków.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.6R rozwiązywanie równań i nierówności trygonometrycznych.
